Вучыўся ў сэмінарыі ў Рызе. Атрымаў сакрамэнт сьвятарства 28 кастрычніка 1980 году. З 1984 па 1998 быў пробашчам парафіі ў Наваградку. 4 ліпеня 1998 Папа Ян Павал II прызначыў яго тытулярным біскупам Лесьві і дапаможным біскупам Гарадзенскае дыяцэзіі. 29 верасьня таго ж году адбылося рукаўскладаньне ў біскупа. 14 сьнежня 2005 загадам Яна Паўла ІІ Антоні Дзям'янка быў вызвалены ад абавязкаў дапаможнага біскупа Гарадзенскае дыяцэзіі і прызначаны дапаможным біскупам Менска-Магілёўскае архідыяцэзіі. 14 чэрвеня 2006, пасьля таго, як кардынал Казімер Сьвёнтак папрасіў вызваліць яго ад абавязкаў арцыбіскупа, біскуп Дзям'янка прызначаны апостальскім адміністратарам архідыяцэзіі. Пасьля ўступленьня на пасаду менска-магілёўскага арцыбіскупа Тадэвуша Кандрусевіча прызначаны генэральным вікарыем архідыяцэзіі.3 мая 2012 г. у Пінску было абвешчана рашэнне Святога Айца Бэнэдыкта XVI аб прызначэнні біскупам Пінскай дыяцэзіі і вызваленні ад выканання абавязкаў дапаможнага біскупа Мінска-Магілёўскай архідыяцэзіі.